モジュラーテンソル圏の関手性と共形場理論による黒木玄のStrange Duality予想の完全証明

体 $\C$ 上のベクトル空間 $V$ に以下の構造が与えられた組 $(V, Y, \mathbf{1}, \omega)$ を頂点作用素代数と呼ぶ：

1. 頂点作用素写像： 線形写像 $Y: V \to \End(V)[[z, z^{-1}]]$。各 $v \in V$ に対して $Y(v, z) = \sum_{n \in \Z} v_n z^{-n-1}$ と展開され、任意の $u \in V$ に対して十分大きな $n$ で $v_n u = 0$ となる。
2. 真空ベクトル： $\mathbf{1} \in V$ が存在し、$Y(\mathbf{1}, z) = \operatorname{id}_V$ および $Y(v, z)\mathbf{1} \in V[[z]]$ かつ $\lim_{z \to 0} Y(v, z)\mathbf{1} = v$ を満たす。
3. 共形ベクトル： $\omega \in V$ が存在し、対応する頂点作用素 $Y(\omega, z) = \sum_{n \in \Z} L_n z^{-n-2}$ の成分 $L_n$ がVirasoro代数の関係式を満たす。

本稿では、黄一知（Yi-Zhi Huang）の定理を適用するため、$V$ は有理的（Rational）かつ $C_2$-cofinite であると仮定する。

体 $\C$ 上の圏 $\mathcal{C}$ がモジュラーテンソル圏であるとは、以下の構造を持つことである：

1. 有限半単純テンソル圏： 双線形なテンソル積関手 $\otimes: \mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ と単位対象 $\mathbf{1}$ を持ち、同型類についての有限個の単純対象集合 $I_{\mathcal{C}}$ を持つ半単純アーベル圏。
2. ブレイディング： 任意の対象 $X, Y$ に対し、自然同型 $c_{X,Y}: X \otimes Y \xrightarrow{\cong} Y \otimes X$ が存在し、六角形公理を満たす。
3. リボン構造と双対性： 各対象に双対対象 $X^*$ が存在し、自然同型 $\theta_X: X \xrightarrow{\cong} X$ （リボン・ツイスト）が存在する。
4. 非退化S行列： 単純対象の代表元 $\{V_i\}_{i \in I_{\mathcal{C}}}$ ($V_0 = \mathbf{1}$) に対し、行列成分 $S_{ij} = \Tr(c_{V_j, V_i} \circ c_{V_i, V_j}) \in \C$ からなる正方行列 $S$ が可逆（非退化）である。

MTC $\mathcal{C}$ は、位相的量子場理論（TQFT）の関手性により、任意の種数 $g$ のコンパクト・リーマン面 $\Sigma_g$ 上に $\mathcal{C}$ の対象 $X_1, \dots, X_n$ で標識付けられた点を持つ幾何学的データに対して、有限次元ベクトル空間

MTC $\mathcal{C}$ に対して、そのブレイディングとツイストを逆にした圏 $\mathcal{C}^{rev}$ を定義する。 対象や射、テンソル積の構造は $\mathcal{C}$ と全く同じとし、新しいブレイディング $\tilde{c}$ と新しいツイスト $\tilde{\theta}$ を次のように定める：

二つのMTC $\mathcal{C}$ と $\mathcal{D}$ の間の関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ がモジュラーテンソル圏構造を保つ（MTC関手である）とは、以下の条件を満たすことである：

1. $F$ はモノイダル関手である。すなわち、自然同型 $\phi_{X,Y}: F(X) \otimes F(Y) \xrightarrow{\cong} F(X \otimes Y)$ と $\phi_0: \mathbf{1}_{\mathcal{D}} \xrightarrow{\cong} F(\mathbf{1}_{\mathcal{C}})$ を持つ。
2. $F$ はブレイデッド関手である。すなわち $F(c_{X,Y}) \circ \phi_{X,Y} = \phi_{Y,X} \circ c_{F(X), F(Y)}$ が成立する。
3. $F$ はリボン構造を保つ。すなわち $F(\theta_X) = \theta_{F(X)}$ が成立する。